Pārneses procesu matemātiksie modeļi un to risinājumi

Projekta vadītājs A.Buiķis

Projekta ietvaros 2008. gadā iegūti jauni ļoti būtiski rezultāti vairākos virzienos: par sistēmām ar ribām, par modeļiem intensīvās tērauda rūdīšanas procesa aprakstam, par transporta līdzekļu elektriskās vadības sistēmu drošumu un par koksnes kārtainas sistēmas (finiera) ražošanu. Iegūto rezultātu nozīmīgumu apstiprina fakts, ka par minētajiem pētījumiem projekta vadītājs bija ielūgts uzstāties ar plenāra referātiem trijās starptautiskās konferencēs: jūnijā Kāriku, Igaunija, augustā Rodā, Grieķija un decembrī Tenerifē, Spānija. Bez tam tika saņemti ielūgumi piedalīties bez dalības maksas pašam projekta vadītājam kopā ar saviem līdzstrādniekiem WSEAS konferencēs 2008.gada janvārī Meksikā, augustā Grieķijā (abās šajās konferencēs A.Buiķis ir arī zinātniskās (programmas) komiteju loceklis) un Tenerifē, Spānija. Pēdējā multikonferencē publicētas starptautisku konferenču tēzes, kuru redaktors ir A. Buiķis (atskaites beigās dotas sīkākas ziņas). Viņš ir arī Starptautiskās programmas komitejas loceklis - Latvijas pārstāvis visās trijās minētajās konferencēs.

Principiāli jauni svarīgi rezultāti iegūti problēmās par siltuma pārnesi sistēmās ar ribām. Var teikt, ka uz Grīna funkciju netradicionālu izmantošanu balstītā pieeja paver jaunas iespējas daudz plašāku matemātiskās fizikas problēmu klašu risināšanai, ne tikai siltuma pārneses procesiem. Jaunās pieejas pamatideja balstās uz to, ka apskatot problēmu sarežģītas ģeometriskas formas apgabalam, to bieži var sadalīt kā vairāku kanoniskas formas apakš apgabalu apvienojumu. Kā labi zināms, Grīna funkciju konstruktīvi (slēgtā formā – konkrētas matemātiskas izteiksmes izskatā) sarežģītas formas apgabalam izrakstīt nevar. Taču, ja izdodas apgabalu sadalīt kanoniskos apakš apgabalos – tādos, kuru robežas kādā no ortogonālajām koordinātu sistēmām ir līmeņu virsmas – tad, katram no apakš apgabaliem Grīna funkciju var izrakstīt konstruktīvi. Tomēr, vietās, kur attiecīgais apakš apgabals saskaras ar blakus apakš apgabalu, nav doti klasiskie robežnosacījumi, bet gan tādas vai citādas formas saistības nosacījumi (piemēram, ideālais vai neideālais termiskais kontakts, un tml.). Izmantojot šos nosacījumus, izstrādātajā metodē tos pārveido piemērota robežnosacījuma formā ar nezināmu labo pusi. Pēc tam jau klasiskā veidā tiek izmantota Grīna funkcija un problēmas atrisinājums apakš apgabalam tiek pārrakstīts kā integrāļu pa apgabalu robežu formā. Tiesa, apgabalu sasaistes vietā, kā jau minēts, robežnosacījumu labā puse nav zināma. Lai to noteiktu, nepieciešams līdzīgā veidā izrakstīt atrisinājumu otram apgabalam. Metodes nākamais solis: atrisinājuma formulu funkcijai un/vai tās atvasinājumam apskatam uz saistības līnijas, un rezultātā tiek iegūts Fredholma 2. veida integrālvienādojums (korekta problēma!). Šādā veidā ir izdevies iegūt precīzo atrisinājumu sistēmai ar taisnstūra ribu, ribai cilindriskā koordinātu sistēmā, un ribu virknei Dekarta koordinātu sistēmā: publikācijas 5.1-5.6 un 5.10, 5.11.

Izstrādātā pieeja tika izmantota, lai iegūtu tuvinātus atrisinājumus intensīvās tērauda rūdīšanas procesa modelim galīgam stienītim un L-formas apgabalam. Tādā veidā izdevās iegūt sākotnējās siltuma plūsmas izteiksmei (kura no prakses viedokļa ir visnozīmīgākā) formulu, iegūstot un atrisinot korektu inverso problēmu nekorektas inversās problēmas vietā. Abi šie aprakstītie rezultāti ir ļoti nozīmīgi no prakses viedokļa, un tādēļ aizkavējas M. Buiķes promocijas darba nobeigums, jo tiek rakstītas nodaļas ar jaunajiem rezultātiem. Ir saņemti uzaicinājumi šo publikāciju paplašinātas versijas iesniegt prestižos starptautiskos žurnālos. R. Viļuma promocijas darba iesniegšana plānota 2009. gada otrajā pusē. 2008. gada novembrī LU doktorantūrā iestājās T. Bobinska.
2007. gada beigās Tenerifē notika WSEAS konference, kurā R. Viļums referēja par auto drošinātāju pārslodzes aprēķiniem (R. Vilums, A. Buikis. Transient Heat Conduction in 3D Fuse Modeled by Conservative Averaging Method. Topics in Advanced Theoretical and Applied Mechanics. WSEAS Press, 2007, p.54-59). Šis darbs tika atzīts par konferences labāko studenta darbu un abi autori saņēma uzaicinājumu raksta paplašinātu versiju sagatavot žurnālam (sk. zemāk publikāciju 5.9). Šī gada laikā tika izstrādāts pilnīgāks modelis (ieskaitot starojuma zudumus) un tas tika referēts WSEAS konferencē par lietišķo matemātiku: publikācija 5.7.

Darbs par koksnes kārtainas sistēmas (finiera) ražošanu notiek sadarbībā ar Koksnes ķīmijas institūtu, iegūtie rezultāti atspoguļoti publikācijā 5.8 un doktorante S. Kostjukova 6 mēnešus strādās Brazīlijā.

Projektā ieplānotie mērķi ne tikai pilnībā sasniegti, bet arī pārsniegti. Bija paredzēti vismaz 4 referāti nozīmīgās starptautiskās konferencēs, patiesībā ir nolasīti 10 referāti (no tiem 3 ir ielūgtie plenāra referāti) 4 starptautiskās konferencēs, kā arī publicēti 8 raksti ISI izdevumos.